名校必备三年数学高考试题的特点与启示

发布于:2021-10-27 08:36:11

天兵下北荒, 胡马欲南饮。 横戈从百战, 直为衔恩甚。 握雪海上餐, 拂沙陇头寝。 何当破月氏, 然后方高枕

三年数学高考试题的特点与启示
增城市华侨中学 伍丰 今年数学高考,是广东省独立命题的第三年。 三年来,广东高考数学命题以教育部考试中心《普通高等学校招生全国统一考试大纲》 和《广东省<普通高等学校招生全国统一考试大纲>补充说明》为依据,充分考虑了广东中 学教学实际和高校招生情况。2004 年实现了全国统一命题到分省命题的*稳过渡;2005 年 在继承 2004 年命题的经验基础上,进一步分析高考数学命题特征和发展趋势,适度调整试 卷结构,逐步形成了广东高考命题风格;2006 年高考数学命题坚持了前两年命题的基本思 路,适当调整试卷难度,努力强化试卷的选拔功能和导向作用,力争使广东卷更加完美。 一、试题呈现的特点 1、 降低难度,贴*考试水* 三年的试卷在难度上逐渐降低,难度由 04 年的 0.41 到 05 年的 0.45 在到 06 年的 0.52, 试卷的难度逐步贴*广东考生的实际水*。命题人员在降低难度上可谓费尽心思,主要 表现在:①将送分题尽可能送上,选择题、填空题的难度一年比一年低,特别是在 06 的高考中,大多属于“一捅就破”的题型,基础较好的同学 25 分钟可完成。解答本题的 前三道题的难度也在逐年降低,以基本知识为主,较少技巧性的要求;②试题的排序设 计更趋合理,基本遵循由易到难的顺序。解答题增加了分步设问,04 年是 8 问、05 年是 12 问、04 年是 16 问,既为学生积极架设通向解决最后问题的桥梁,也便于未能完整解 答问题的考生得到中间的分数;③试卷更加贴*中学教学。 2、 源于教材,突出重点知识 高考的命题必须以教材为本,鼓励学生立足教材,学好学透基本知识,每年的高考题 中都有不少以课本的例题、*题的题型加以改造而成的问题,如 06 年的广东卷的第 1、 2、3、4、5、8、9、11、13、15 等题,是考生熟悉的题型,在内容的分布上,传统教材 6 大板块:函数、不等式、数列、三角、立几、解几仍是构建浅题的主要体系,每年均 超过整卷分数的 80%。 对新增内容如向量、 概率统计、 导数的考查既保持了较高的比列, 也达到了必要的高度,逐渐与传统内容融合,成为试题的主体。 例 1. (04 年 21 题)设函数 f ( x ) = x ? ln( x + m) ,其中常数 m 为整数 (I)当 m 为何值时, f ( x ) ≥ 0 (II)定理:若函数 g ( x ) 在 [ a, b] 上连续,且 g ( a ) 与 g (b) 异号,则至少存在一点 x0 ∈ ( a, b) , 定理: 上连续, 异号, 定理 使得 g ( x0 ) = 0 方程 f ( x ) = 0 在 ? e ? m ? m, e 2 m ? m ? 内有两个实根。 试用上述定理证明: 当整数 m > 1 时, ? ?
1

此题结合了新课标的知识命制,数学必修 1(北师大版 P )有类似定理。 132 例 2(06 年 18 题)设函数 f ( x) = ? x3 + 3 x + 2 分别在 x1 , x2 处取得极小值、极大值.xoy *面上点 A、B 的坐标分别为 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) .该*面上动点 P 满足 P A P B = 4 , 点 Q 是点 P 关于直线 y = 2( x ? 4) 的对称点,求: (Ⅰ) 点 A、B 的坐标; (Ⅱ)动点 Q 的轨迹方程. 此题融合了函数、导数、向量及解几知识,内容整合得十分和谐,且蕴涵着对数学思想 方法和考试思维素质的考查。 3、 保持传统、强调基本素养 *年来,我们积极学*新课标,领会新内容,但不要忘记,传统数学基础知识和基 本方法仍是中学数学的主力军。广东题也体现这一倾向。 例 3(05 年 16 题)如图 3 所示,在四面体 P—ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10, AC=8,PB= 2 34 .F 是线段 PB 上一点,CF = ⊥PB. (Ⅰ)证明:PB⊥*面 CEF; (Ⅱ)求二面角 B—CE—F 的大小.
uuu uuu r v

15 34 ,点 E 在线段 AB 上,且 EF 17

P F E A
如图 3

B C

本题的解决依赖三角形边、 角之间关系及立体几何的基本知识等传统知识, 比起建立坐标系 用空间向量的方法来解决便捷得多, 这三年得立几题都有意回避使用*面法向量得方法。 尽 可能多角度得考查学生的空间想象能力与思维能力。 例 4(05 年 18 题)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数 量比为 s:t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将 其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过 n 次,以ξ表示取球 结束时已取到白球的次数. (Ⅰ)求ξ的分布列; (Ⅱ)求ξ的数学期望. 例 5(06 年 19 题)已知公比为 q(0<q<1) 的无穷等比数列 {an } 各项的和为 9,无穷等比 数列 {a n } 各项的和为
2

81 . 5

(Ⅰ)求数列 {an } 的首项 a1 和公比 q; (Ⅱ)对给定的 k ( k = 1, 2,..., n), 设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2 ak -1 的等差数列,求数列

2

T ( k ) 的前 10 项之和.
(Ⅲ)设 bi 为数列 T ( i ) 的第 i 项, S m = b1 + b2 + L + bm ,求 S m ,并求正整数 m(m>1), 使得

lim n
n →∞

Sm
m

存在且不等于零.

(注:无穷等比数列各项的和即当 n → ∞ 时该无穷等比数列前 n 项的和的极限) 以上两题的最后一问均考查了用错位相减法求和的方法,试题中含有符号(字母) 的运算推理较多,因而对考生的基本能力和素养提出了较高的要求。 4、 重视衔接、考查学*潜能 高考是为高等学校选拔人才,因此重视与高等数学的衔接,广东题较为重视高等数 学所需要的基本知识及数学观念,如函数的奇偶性与周期性,极值与最值,分段函 数,符号(字母)运算,分类整合等,在考题中占有较大的比例。 例 6(06 年 20 题)A 是由定义在 [2,4]上且满足如下条件的函数 ? ( x ) 组成的集合:①对任 意 的 x ∈ [1, 2], 都有? x) (1,2) ; ② 存 在 常 数 L ( 0<L<1 ) , 使 得 对 任 意 的 (2 ∈

x1 , x2 ∈ [1, 2], 都有

? x1)-? x2)≤ L x1 ? x2 . (2 (2
(Ⅰ)设 ? ( x ) = 3 1 + x , x ∈ [2, 4] .证明 ? ( x ) ∈ A ; (Ⅱ)设 ? ( x ) ∈ A ,如果存在 x0 ∈ (1, 2) ,使得 x0 = ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (Ⅲ)? ( x ) ∈ A ,任取 xi ∈ (1, 2) 令 xn ?1 = ? (2 xn ), n = 1, 2,L. 证明:给定正整数 k,对任意

Lk ?1 的正整数 p,成立不等式 xk + p ? xk ≤ x2 ? x1 1? L
此题从数学学科的整体高度和思维价值来设计问题, 对数学基础知识和基本能力的考查达到 必要深度。 该题具有明显的高等数学背景, 属于抽象函数问题, 对代数推理能力的要求较高, 是命题组精心设计的一道试题,旨在考查考生进一步学*的潜能。 5、 适度创新、凸现课改理念 随着新课程改革的实施和不断深入,数学教学应进一步倡导学生的立体参与性,关 注学生创新意思、实践能力的培养和综合素质的提高。研究性学*是新课程理念下 重要的学*方式,如何在考题中构建一个让学生综合运用知识、施展创新的*台, 备受命题专家的关注。 例 7 (06 年 10 题)对于任意的两个实数对 (a, b) 和(c,d) ,规定: (a, b) =(c,d)当 且仅当 a = c, b = d ;运算“ ? ”为: (a, b) ? (c,d)= ( ac ? bd , ac + bd ) ;运算“ ⊕ ”

( (c, = ( a + c, b + d ) .设 p, q ∈ R, 若(1, 2) ? ( p, q ) = (5, 0), 则 (1, 2) ⊕ ( p, q ) = d) 为: a, b) ⊕
3

A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,-4) “定义新运算”问题,*时只在数学竞赛中遇见,用作高考题在我省还是第一次 例 8 (05 年 20 题)在*面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB、 AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图 5 所示).将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.

y
D C

O (A)

B

x

如图 5 本题有更一般的情形,发展空间大,它为研究性学*提供了良好的素材,这个对于培养学生 的创新意识和实践能力,提高学生的综合素质是十分有益的。 二、对今年高考复*的启示 2007 年的高考,是完全按照新的课程标准教学的第一界,在新的课程标准下,提出了 许多新的理念,涉及教学课程的目标、数学教学、数学学*、教材编写、数学教育评价等多 个层面。新理念继承了我国数学教学的部分优秀传统,又反映了对数学课程的新认识,在一 定程度上受到欢迎。然而,如何在高考中落实新理念,这是目前高考复*中需要认真探讨的 问题。同时,在 2007 年高考中,广东省开始按照文理分科命制高考数学试题,并取消了标 准分,一系列的改革,势必对原有高考复*产生冲击。但不论如何变革,高考复*的模式也 应该基本保持不变。下面结合新课程标谈谈对高考复*的几点看法: 1、 三大能力仍然应该是数学能力的核心 20 世纪 60 年代以来,我国形成发展了竞赛能力、逻辑思维能力和空间想象能力通称为 “三大能力”的数学传统。新课标中把数学思维能力的内涵拓宽为:直观感知、观察发现、 归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思、构建 等思维过程。 进一步又把数学基本能力概括为: 空间想象、 抽象概括、 推理论证、 运算求解、 、 数据处理等。这些能力已经涵盖了过去的三大能力,并反映了概率统计的内容和要求,反映 了解决随机问题的需要。在新课标的教学目标中,还提出了更广泛的能力观,即“提高数学 的提出、分析和解决问题的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力” 。 然而, 能力的提法过多, 不好记忆, 也不好落实。 对每一种能力的内涵尚未作出具体的解释, 实施也教困难,评价标准有待建立。 传统的三大能力的提法,反映了我国数学教学的宝贵经验,它的内涵已有清楚的阐述, 具备记忆上的简明性,执行上的可操作性,因而仍可作为数学能力的核心。学*数学知识是 培养思维能力的载体,解决数学问题是发展数学能力的途径。因此,在高考复*中,要善于 设计适当的情景,通过问题解决过程,发展学生的数学能力。 2、 重新认识“双基” ,确保得到落实 新课标并无明确指出哪些内容属于“双基”范围,而且新课标中的一些内容也不适合纳 入“双基”的范围。因此,高中数学的“双基”内容需要重新确定,确定“双基”的范

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围可以根据以下两个原则: ① 基础性原则。原有高中数学课程所具有的,进一步学*所必要的,有利于学生形成 正确数学观的数学知识和方法,应该是高中新课程的基础。例如,函数与方程、立 体几何、*面解析几何的主干内容等,仍然是高中数学的基础知识;化归法、坐标 法、数学归纳法等,仍然是高中数学的基本方法。 ② 重要性原则。高中数学应该反映科学技术进步,应当吸纳有重要应用价值的数学知 识与方法。例如算法、数据处理、概率统计、向量、导数及其应用等,是现代数学 的重要知识,应当视为当代高中数学基础;用计算机或计算器解方程、求函数值, 绘画函数图像等,反映了运用现代信息技术的需要,应当视为当代高中数学的基本 技能。 当前高中内容偏多,教学进度过快,制约着“双基”落实。因此,在增加内容的同 时,要删减对于进一步学*关系不大的内容,或降低要求。例如,*两年广东高考 卷中对三角恒等变换与三角方程,圆锥曲线的综合计算等内容都在试题中有不同程 度的弱化。特别是新课标规定要删减的内容一定要删减,需降低要求的一定要降低 要求。 3、 重视培养数学应用意识 数学应用意识是新的课程标准的核心理念, 也是数学课程实验的难点。 实验教材增加了 应用问题的份量,不少概念通过应用问题引入,*题中加强了数学应用问题的安排,还 设立了数学建模专题。但在以往的高考中由于应用问题的文字叙述较多,令人费解;师 生的生活经验教狭窄, 对应用问题的有关背景并不熟悉; 许多应用问题需要大量运算因 素,制约着对应用问题的考查。在新的高考中,必定会加强应用意识的考查,这是时代 的需要,是教育改革的需要,同时是数学科的特点所决定的。因此,在高考复*中,应 加大培养数学应用意识的力度,多方面多角度的发展数学应用意识,主要途径如下: ① 鼓励运用所学数学知识解决数学自的问题 ② 引导学生解决日常生活中与数学相关的问题; ③ 启发学生思考其它学科与数学有联系的问题; ④ 经常设计适当应用问题给学生练*; ⑤ 教材中的应用问题比较贴*学校和学生的生活,也教适应现代科学技术的发展,具 有教好的示范作用,因而是复*中的重中之重。 4、 正确对待文、理科的差异 07 年广东高考文、理科高考数学试卷将又所不同,承认文、理科考生的差别。从全 国各地文、理高考试卷的差异看,主要表现在两个方面:一是在学*内容上差异, 《考试大纲》将会给出详细的标准,哪些文科学,哪些理科学,既使是相同的内容, 文、理科要求也不同,如圆椎曲线中的抛物线的定义、图象和性质,问科只要求了 解,理科则需要掌握;二是在能力上的差异,理科试题强化抽象思维、推理论证和 思维严谨的要求,突出考查理性思维和后继学*的潜能,而文科试题则显著降低了 抽象思维的程度,则重于形象思维,广泛联系实际、强化应用意识,文科试题的最 大难度是理科试题的中等难度。 其实,对文、理科的差异不只应停留在高考试题上,更多的应关注文、理学生在数 学学*上品质的差异,众所周知,目前选学文科的学生,并不都是因为喜欢文科而 选文科,大部分因为理科差,特别是数学差而选文科,这部分人从心理上畏惧学* 数学。因此,文科数学的复*,必须从提高学生兴趣入手,适当控制难度,力争他 们跟上学*节奏。而理科上比较强调考查后继续学*的潜能,对数学基础知识和基 本能力的考查达到必要的深度,因此在复*时必须加深对知识的理解和应用,加大

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对能力的培养,使之达到必要的高度。

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